Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo absolutos de
No domínio
Passo 1
Precisamos, antes de mais nada, verificar as condições do Teorema de Weierstrass pra saber se existem pontos de máximo e mínimo.
Começamos verificando a continuidade da função
É uma função composta por funções contínuas (funções polinomiais), e portanto é contínua em todo .
Passo 2
Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:
Que é o interior e a fronteira de uma esfera de raio e centro em . Como a região contém a sua fronteira ela é fechada.
Passo 3
Verificar se o conjunto é limitado. Já vimos que a região é o interior e a fronteira da esfera de raio e centro em .
Então, basta imaginar-mos uma esfera com centro em e um raio grande, por exemplo, para garantir que o conjunto está totalmente contido nesse conjunto. Logo a região é limitada.
Como todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas, podemos afirmar a existência de máximos e mínimos globois de no conjunto
Passo 4
Agora, podemos então começar a buscar os candidatos a máximo e mínimo.
Primeiro vamos encontrar os pontos críticos de .
e não faz o menor sentido né?
Isso significa que não tem pontos críticos no interior da esfera. Assim, os nossos candidatos a máximo e mínimo estarão somente na casca da esfera.
Agora temos então um caso de procurar máximo e mínimo da função , restritos a esfera.
Vamos portanto usar o método do multiplicador de lagrange.
Passo 5
Primeiro, vamos pegar a equação da esfera, jogar tudo pro lado esquerdo e chamar de .
Seu gradiente vai ficar:
Passo 6
Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange:
Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema
Passo 7
Resolvendo o sistema, pela equação temos
Então vamos ter 2 possibilidades:
Vamos olhar caso por caso!
Passo 8
Começando pelo primeiro
Se , a equação fica:
Agora, da equação , podemos tirar que
E da equação , temos que
Substituindo esses dois resultados em
Assim,
Dessa forma, obtemos 4 pontos candidatos: os pontos , , e .
Passo 9
Agora vamos ao segundo caso.
Se , pela equação temos
E pela equação :
Substituindo na :
Isso é impossível, portanto, o caso não nos deu novos pontos.
Passo 10
Recapitulando, achamos os pontos
Para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função para cada um deles.
Portanto, os pontos de máximo e mínimo de , restrita à esfera , são os pontos (máximo), e (mínimo).
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo de , restrita à esfera , são os pontos (máximo), e (mínimo).