Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Ver Teoria
Exercício 711234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697072737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Otoniel Nogueira - Lista 08, Questão 7

7. Encontre os valores máximo e mínimo da função f = x y sujeita a restrição x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter os pontos da máximos e mínimos da função f x , y = x y dada a condição x 2 + y 2 = 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para a solução desse problema podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange...

Dada uma função f e uma restrição g , podemos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange como

∇ f = λ ∇ g

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y

A partir da manipulação dessas equações podemos obter os pontos críticos de f e substituindo em f descobrimos qual é maior e qual é menor...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se f x , y = x y e g :   x 2 + y 2 = 1

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ∂ x y ∂ x , ∂ x y ∂ y

∇ f = y , x

Podemos definir g como uma função g x , y = x 2 + y 2 - 1

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y = ∂ x 2 + y 2 - 1 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 - 1 ∂ y

��� g = 2 x , 2 y

Montando a equação

∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y

∂ f ∂ x = λ ∂ g ∂ x ∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ y x 2 + y 2 = 1 → y = λ 2 x x = λ 2 y x 2 + y 2 = 1 → λ = y 2 x λ = x 2 y x 2 + y 2 = 1

Igualando as duas equações de λ ...

y 2 x = x 2 y → 2 y 2 = 2 x 2

y 2 = x 2

Substituindo essa informação na terceira equação, temos

x 2 + x 2 = 1 → 2 x 2 = 1

x = ± 1 2

se x = ± 1 2 , então

y = ± 1 2

Dessa forma encontramos quatro pontos para analisar...

P 1 = 1 2 , 1 2 ,     P 2 = - 1 2 , 1 2 ,     P 3 = 1 2 , - 1 2 ,     P 4 = - 1 2 , - 1 2

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Para descobrir qual é o maior e o menor valor, substituímos na função f ...

Para P 1 , temos

f 1 2 , 1 2 = 1 2 · 1 2 = 1 2

Para P 2

f - 1 2 , 1 2 = - 1 2 · 1 2 = - 1 2

Para P 3

f 1 2 , - 1 2 = 1 2 · - 1 2 = - 1 2

E por último, para P 4

f - 1 2 , - 1 2 = - 1 2 · - 1 2 = 1 2

Dessa forma vemos que P 1 = 1 2 , 1 2 e P 4 = - 1 2 , - 1 2 são pontos de máximo f P 1 = f P 4 = 1 2 e P 2 = - 1 2 , 1 2 e P 3 = 1 2 , - 1 2 são pontos de mínimo f P 2 = f P 3 = - 1 2 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

P 1 = 1 2 , 1 2 e P 4 = - 1 2 , - 1 2 são pontos de máximo f P 1 = f P 4 = 1 2 .

P 2 = - 1 2 , 1 2 e P 3 = 1 2 , - 1 2 são pontos de mínimo f P 2 = f P 3 = - 1 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 39
Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 =
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =