Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar a menor distância entre o ponto e o plano
Passo 1
A função a ser minimizada é a distância de um ponto até o ponto , ou seja:
Jogada de mestre: minimizar a função distância, é equivalente a minimizar o quadrado da função distância, isto é:
Basta minimizar essa função para pontos restritos ao plano
Passo 2
Calcular gradiente da função:
Passo 3
Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:
Equação da superfície:
Passo 4
Definir função sendo o lado esquerdo da equação acima:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Utilizar multiplicador de Lagrange:
Passo 7
Igualar coordenadas e encontrar sistema:
Passo 8
Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:
Equação do plano:
Passo 9
Resolver o sistema:
Somando as três equações:
Maaaas, sabemos que
Assim
Então, substituindo isso na equação ali em cima:
Passo 10
Substituindo nas equações do sistema:
Então o ponto que minimiza a função é
Passo 11
Acontece que ainda falta descobrir qual é a tal da menor distância.
Pra isso é só substituir esse ponto na função.
Maaaaas, essa não é a distância mínima AINDA. Essa é a distância mínima ao quadrado.
Pra saber a distância mínima então é só a gente tirar a raiz ☺