Máximos e Mínimos, Multiplicadores de LaGrange, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de na região descrita pela desigualdade
Passo 1
Máximo e mínimo em uma região? Isso é trabalho para os pontos críticos e o LaGrange!! Sim, precisamos dos pontos críticos para saber todos os candidatos a máximos e mínimos da função e selecionar os que estiverem dentro da região mencionada. Mas também precisamos de LaGrange para verificar os pontos de máximo e mínimo sobre a fronteira da região, , beleza?
Começando pelos pontos de máximo e mínimo usuais, temos que derivar a função em relação a e a :
Passo 2
Agora, igualemos cada derivada parcial a , e resolvamos o sistema:
Da segunda equação, temos que , logo, é a única solução!
Para a primeira equação, teremos:
E então, nosso ponto candidato a máximo ou mínimo é , show? Antes de colocar ele realmente como candidato temos que ver se ele está na restrição. A nossa restrição é
Substituindo
Então ele está na região, cuidado para não se confundir, ele está dentro do círculo, mas não na fronteira.
A restrição aqui tem um , então ela é tanto dentro do círculo quando dentro dele.
Vamos chamá-lo de :)
Passo 3
Agora, partamos para LaGrange! Para isso, vamos dizer que:
em que é a função que queremos max/minimizar, e é a fronteira restrição, .
O gradiente de já fizemos nos passos anteriores, e é o vetor que tem as derivadas parciais:
Agora, precisamos do vetor gradiente da função :
E, então, temos:
Passo 4
Ok, agora temos que resolver o sistema formado pela equação do passo anterior e pela equação da restrição:
Pela segunda equação, temos que ou são soluções, correto?
Optando por , teremos, na primeira equação, que:
Colocando na equação da restrição, teremos:
E então, fechamos mais dois pontos com esses valores para , tendo , e .
Passo 5
Beleza, chegamos naqueles pontos supondo , certo? Mas e se ? Nesse caso, teríamos, pela equação da restrição, que:
E, então, temos mais dois pontos: , :D
Passo 6
Pronto! Temos todos os pontos possíveis do nosso amigo LaGrange, e temos ainda aquele candidato de máximo ou mínimo pelo ponto crítico! Assim, agora tudo o que nos resta a fazer é ver o valor que a função assume para cada ponto e depois comparar os valores!
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
E, assim, os pontos de máximo são e , enquanto o ponto de mínimo é o !
Resposta
O ponto de mínimo é o , e os pontos de máximo são e .