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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Exercício 471234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454648495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Seja

D = x , y ∈ R 2 x 2 2 - 10 x + y 2 - 10 y + 48 ≤ 0

Seja

f x , y = 2 x 2 + 4 y 2

Com x , y ∈ D .

Encontre os valores de máximos e mínimos globais de f em D .

Passo 1

Primeiramente, precisamos achar os pontos críticos que estão no interior de D .

Calculando os pontos críticos:

f x = 4 x = 0

f y = 8 y = 0

Assim, nosso único ponto crítico é 0,0 .

Mas, esse ponto não está dentro de D , pois

0 2 2 - 10 . 0 + 0 2 - 10 . 0 + 48 = 48 > 0

Assim, não temos candidatos a máximo e mínimo no interior de D . Precisamos então analisar a fronteira.

Passo 2

Para analisar a fronteira de D , vamos usar Lagrange. Primeiro vamos definir:

g x , y , z = x 2 2 - 10 x + y 2 - 10 y + 48

∇ g x , y , z = ( x - 10,2 y - 10 )

Então, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, vamos ter o sistema:

4 x ,   8 y = λ x - 10,2 y - 10 x x 2 2 - 10 x + y 2 - 10 y + 48 = 0

Ou seja, o nosso sistema vai ser:

4 x = λ ( x - 10 ) 8 y = λ ( 2 y - 10 ) x 2 2 - 10 x + y 2 - 10 y + 48 = 0

Passo 3

Isolando λ nas duas primeiras equações, teremos

λ = 4 x x - 10

λ = 8 y 2 y - 10

Igualando:

4 x x - 10 = 8 y 2 y - 10

8 x y - 40 x = 8 x y - 80 y

x = 2 y

Passo 4

Agora, substituindo isso na equação da restrição:

2 y 2 2 - 10 ( 2 y ) + y 2 - 10 y + 48 = 0

4 y 2 2 - 20 y + y 2 - 10 y + 48 = 0

3 y 2 - 30 y + 48 = 0

y = 30 ± - 30 2 - 4 3 48 2.3

y = 30 ± 324 6

y = 2

Ou

y = 8

Assim,

x = 2 . 2 = 4

Ou

x = 2 . 8 = 16

Temos então os candidatos:

P 1 = ( 4,2 )

P 2 = ( 16,8 )

Passo 5

Calculando o valor da função nesses dois pontos:

f x , y = 2 x 2 + 4 y 2

f 4,2 = 2 . 4 2 + 4 . 2 2 = 48

f 16,8 = 2 . 16 2 + 4 . 8 2 = 768

Assim, 48 é o valor de mínimo global de f em D e 768 é o valor de máximo global de f em D .

Resposta

Mínimo: 48

Máximo: 768

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