Determine o volume máximo de uma caixa retangular inscrita numa esfera de raio .
Passo 1
Vamos primeiro entender o que a gente tem que fazer.
Existe uma função, Volume, que devemos achar seu máximo. Mas o volume pode crescer o quanto quisermos, basta aumentar as dimensões da caixa, não é? Neste caso, não, porque existe uma outra função, que limita o nosso volume, que é a equação da esfera de raio , que é essa daqui:
Então, com certeza, teremos que usar os multiplicadores de Lagrange, pois temos que encontrar o ponto máximo de uma função com restrição!
Passo 2
Vamos começar definindo qual é essa nossa função Volume:
Bem simples, né? Só chamar o comprimento, largura e altura de , e e multiplicar, aí temos o volume!
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o gradiente da função Volume:
Suas derivadas parciais são...
Logo, o gradiente é:
Passo 4
Beleza, agora vamos encontrar o gradiente da função da esfera.
Jogando tudo para o lado esquerdo e chamando de :
Calculando as derivadas parciais da esfera:
Assim, nosso vetor gradiente da função do elipsóide fica:
Passo 5
Finalmente! Agora podemos equacionar os multiplicadores de LaGrange!
Igualando as coordenadas e adicionando a equação da esfera:
Passo 6
Igualando os valores de que encontramos:
E
Assim
Passo 7
Substituindo na equação da esfera:
Portanto,
Positivo porque estamos falando no comprimento dos lados da caixa.
Passo 8
Agora vem a parte mais fácil! Escrever nossa função volume com os que encontramos!