Encontre os extremantes da função objetivo no conjunto admissível (conjunto que satisfaz a restrição). Encontre também, se houve, os extremantes de em ℝ²

, sujeito à

Agora vamos pegar a equação da curva e jogar tudo para o lado esquerdo, deixando zero no lado direito:

Vamos chamar de e calcular o gradiente:

Vamos utilizar o multiplicador de Lagrange:

Montando o sistema junto da equação da curva:

Eu sei que a vontade de cortar o e o ali nas primeiras equações é grande, mas não podemos pois podem ser iguais a 0. Como nós já estamos considerando um ponto crítico , nós teremos então duas situações:

Vamos para a primeira condição.

Se , vamos jogar na terceira equação:

Com isso, teremos os pontos críticos e

Vamos para a próxima condição.

Se , vamos jogar na terceira equação:

Com isso, teremos os pontos críticos e

Show, vamos juntar todos os pontos encontrados:

Jogando os pontos na função:

Logo, a função , sujeito à terá:

Pontos mínimo ⇨

Pontos máximos ⇨

Sem a restrição, o único ponto crítico de é .

Sabemos que , porém se pegarmos um ponto qualquer da forma , por exemplo , a função assume valores positivos:. Logo não pode ser ponto de máximo global, pois .

Além disso, perceba que se pegarmos um ponto da forma, por exemplo , a função irá assumir valores negativos:. . Logo não pode ser ponto de mínimo global, pois .

Logo, a função não possui pontos de máximos e mínimos globais em seu domínio,é ponto de sela.