Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

Ver Teoria
Exercício 791234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677788081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 8 – Exercício 4

(Capítulo 14.8 – Exercício 4) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y = 3 x + y ;                   x 2 + y 2 = 10

Passo 1

Falaiiiiiii, vamo lá encontrar os máximos e mínimos da nossa função usando a restrição?! Simbora!

Cara, essa restrição ai podemos escrever como:

g x , y = x 2 + y 2 - 10 = 0

Temos que os extremos vão ter de seguir o seguinte:

∇ f = λ   .   ∇ g

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções! Primeiro com:

f x , y = 3 x + y

f x = 3

f y = 1

Então o gradiente é

∇ f = 3,1

Agora vamos para a função g x , y :

g x , y = x 2 + y 2 - 10

g x = 2 x

g y = 2 y

Então o gradiente vai ser:

∇ g = ( 2 x , 2 y )

Passo 2

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação. Veja só:

3,1 = λ   .   ( 2 x , 2 y )

Daí, vamos tirar que:

3 2 x = λ

  1 2 y = λ

Igualando nosso λ , teremos:

3 2 x = 1 2 y

6 y = 2 x

6 y 2 = x

x = 3 y

Passo 3

Vamos voltar na nossa restrição agora e substituir x , olha só:

x 2 + y 2 = 10

3 y 2 + y 2 = 10

9 y 2 + y 2 = 10

10 y 2 = 10

y 2 = 10 10

y = 1

y = ±   1

Daí temos dois valores para x , dependendo do y :

x = 3 y

x = ± 3

Cara, então vamos ter em - 3 ,   - 1 e   ( 3,1 ) o nosso máximo e nosso mínimo, show de bola? Mas qual deles seria o ponto máximo e qual seria o mínimo?!

É só substituir esses pontos na nossa função f x , y , e daí analisar o maior e menor valor, aí sim nós teremos o máximo e o mínimo!

Passo 4

Estamos quase acabando, vamos lá!

Em ( - 3 , - 1 ) , teremos:

f x , y = 3 x + y

f - 3 , - 1 = 3   . - 3 + - 1

f - 3 , - 1 =   - 9 - 1

f - 3 , - 1 =   - 10

E agora com ( 3,1 ) , teremos:

f x , y = 3 x + y

f 3,1 = 3   . 3 + 1

f 3,1 = 9 + 1

f 3,1 = 10

Daí, em ( 3,1 ) teremos nosso valor máximo, que é 10 . E em ( - 3 , - 1 ) teremos nosso mínimo sendo - 10 .

Prontinho! Conseguimosss!

Resposta

Em ( 3,1 ) teremos nosso valor máximo e em ( - 3 , - 1 ) teremos nosso mínimo.

Exercícios de Livros Relacionados

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicadosExercício 39
Utilize os Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x 1 ,x 2 , … , x n = x 1 + x 2 + … + x n x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 =
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =