UFRJ, Cálculo 2, P2 2016.1, questão 12
Quais os valores mínimos e máximos respectivamente de no domínio ?
e ;
e ;
e ;
e ;
e .
Passo 1
A gente basicamente vai ter de fazer duas coisas:
- Verificar máximos e mínimos no interior da região, usando o teste da segunda derivada
- Verificar máximos e mínimos na fronteira da região usando os multiplicadores de Lagrange.
Então bora lá. Vamos calcular as derivadas parciais de e igualar a zero para encontrar os pontos críticos. Temos:
Temos também:
Portanto temos um ponto crítico da função em . Não podemos esquecer de verificar se ele está no nosso domínio:
O ponto pertence ao domínio.
Passo 2
Vamos utilizar os multiplicadores de Lagrande para verificar máximos e mínimos na fronteira. Então teremos . Calculando sendo gradiente fica:
Passo 3
Agora vamos fazer:
Vamos ter as seguintes equações:
Da equação temos :
- caso 1:
- caso 2:
Passo 4
Vamos ver cada um dos casos.
Caso 1:
Se , da equação temos que . Então temos o ponto e
Caso 2:
Se , chegamos a :
Substituindo na equação temos:
Colocando em evidência temos:
Caso 2.1:
Da equação temos ou . Temos o ponto e .
Caso 2.2:
Da equação temos
Calculando temos:
Então temos os pontos:
Passo 5
Para terminar, vamos substituir esses valores na função o que fornecer o maior e menor valor respectivamente será o máximo e o mínimo.
Vemos que é ponto de mínimo pois
E vemos também que e são pontos de máximo pois a função assume o maior valor
Resposta
Letra