Unicamp, Cálculo 2, 2019.2, P1, Questão 5.
Ache o(s) ponto(s) que pertencem à superfície dada por cujo o plano tangente é paralelo ao plano .
Passo 1
Então pessoal, a ideia dessa questão é a seguinte: a gente tem essa superfície aqui:
E em cada ponto dessa superfície, você pode calcular um plano tangente. E o que a gente quer saber é: quantos desses planos são paralelos a esse aqui:
Então tá. Vamos começar procurando a equação geral do plano tangente.
Passo 2
O primeiro passo é reescrever a nossa superfície desse jeito aqui:
Nesse caso, a fórmula pra encontrar a equação do plano tangente ao ponto é:
Ok, já deu pra ver que vamos precisar calcular as derivadas parciais. Vamos fazer isso de uma vez:
Ou seja:
Então nossa fórmula geral é essa aqui:
Vamos organizar isso um pouco melhor:
Passo 3
Beleza, o que esse plano precisa pra ser paralelo ao outro? É simples! Nosso primeiro plano é esse aqui:
Um plano perpendicular a esse tem que ter a mesma equação, com exceção de uma constante!
Então tá, queremos que esses dois planos aqui sejam paralelos:
Beleza? Mas já que fixamos o múltiplo do como (não tem nenhuma variável multiplicando o na nossa equação geral), a gente só tem que obedecer essas duas condições aqui:
E então:
Ou seja, o ponto da superfície que tem plano tangente paralelo ao é:
Resposta
O ponto é o único que pertence à superfície e é paralela ao plano dado no enunciado.