Teorema da função implícita
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).
A equação do plano tangente à superfície descrita pela equação no ponto é dada por: .
Passo 1
Bem, se essa for a equação do plano tangente à superfície no ponto dado, então essa equação do plano dever satisfazer o ponto, certo? Antes de tudo, vamos ver se isso é verdade:
Ok, esse ponto pertence ao plano dado, mas isso não quer dizer que a afirmação é verdadeira!
Passo 2
Agora, vamos tentar encontrar a expressão do plano tangente nesse ponto e ver se condiz com o que o enunciado disse. Para isso, precisamos de duas coisas: um ponto pertencente ao plano (que já temos) e um vetor normal à superfície.
Para achar o vetor normal, fazemos o seguinte:
Agora, calculamos o gradiente de :
Vamos, então, encontrar o valor do gradiente no ponto de tangência, :
Esse é, então o vetor normal de que precisamos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação do plano:
Bom, essa equação é diferente do plano
Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa.