UFABC – Funções de Várias Variáveis – Lista de Exercícios 3 – Questão 6
Encontre o ponto onde o plano tangente à superfície de equação no ponto corta o eixo
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O problema fala em encontrar um ponto que corta o eixo z, mas em cima de quem?
Em cima do plano que é tangente à uma superfície em . Então na verdade o que o problema quer é saber onde temos no plano tangente. Mas você lembra como que encontra a equação do plano tangente a uma superfície?
seja uma superfície
No nosso caso
E um vetor qualquer que contenha o ponto dado
Aí o gradiente aplicado nesse ponto e o vetor precisam ser ortogonais:
E é isso! Fazendo esse produto escalar encontramos a equação do plano tangente!
Vamos começar? Mas calma, vou fazer com você!
Passo 2
Nossa primeira missão é encontrar a equação do plano tangente à superfície
Vamos começar fazendo o gradiente de
E aplicando o gradiente
E por fim vamos aplicar no ponto dado :
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora vamos montar aquele . Esse é um vetor qualquer que contém o ponto dado
Beleza? Agora vamos montar o plano tangente!
Passo 4
Para encontrar o plano tangente, precisamos o gradiente (aplicado no ponto dado) da superfície e do vetor :
E agora para a equação do plano, precisamos fazer o produto escalar entre eles e igualar a zero:
Esse é o plano tangente à superfície dada no ponto
Tranquilo até aqui?
Passo 5
Já sabemos ONDE procurar o ponto, nesse plano aqui
Mas agora, onde esse plano corta? Corta o eixo z! isso significa que , então:
Assim o ponto onde esse plano corta o eixo z é
E é isso!
Espero ter ajudado!
Até a próxima!