UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, 2° Estágio - 2017.2, Questão 1c
Considere as superfícies do paraboloide , o plano e o ponto .
c) Um plano tangente ao paraboloide, que seja paralelo ao plano
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente determinar a equação do plano tangente ao paraboloide , sabendo que esse plano é paralelo ao plano .
Então, o que nós precisamos fazer é determinar a equação geral do plano, que depende de um vetor normal a superfície e um ponto tangente conhecido, . A equação tem a forma:
Mas nós não conhecemos o vetor normal . Então, nós vamos determinar as coordenadas desse vetor calculando o gradiente da função no ponto :
Assim, .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente para determinar nosso vetor normal. Temos:
Calculando essas derivadas:
Assim, as coordenadas do vetor gradiente para um ponto qualquer é:
E encontramos nosso vetor normal, agora precisamos encontrar nosso ponto de tangência.
Passo 3
Para encontrar nosso ponto, nós precisamos reparar que se esse plano tangente ao paraboloide é paralelo ao plano , então o vetor normal de um é múltiplo do vetor normal do outro. Assim, o vetor gradiente (vetor normal do plano tangente) é múltiplo do vetor (vetor normal do plano , que também é obtido pelo gradiente de ).
Como são proporcionais, temos:
Beleza, essa expressão só nos diz que um é múltiplo do outro. Desenvolvendo, temos o seguinte sistema:
Da terceira equação, temos . Substituindo na primeira equação:
E substituindo na segunda equação:
Assim, o vetor gradiente é
Passo 4
Já temos duas coordenadas do nosso ponto de tangência, e , só falta a gente descobrir a terceira. Para isso, vamos substituir os valores que encontramos na equação do paraboloide, pois :
E assim, o ponto de tangência é .
Passo 5
Beleza, agora que temos o vetor diretor, que é o vetor gradiente, e temos o ponto de tangência, basta colocar na fórmula do plano:
Usando e :
Somando as componentes do lado direito:
Chegamos na equação no plano, mas podemos simplificar multiplicando a equação por dos dois lados:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉