UTFPR. Cálculo Diferencial e Integral 2. Prova AV2. 2022.1. Questão 3.
Questão 3 – Considere a função
a) Calcule as derivadas parciais nos pontos .
b) Calcule as derivadas parciais em .
c) Calcule a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
d) Calcule o limite
E conclua se é ou não diferenciável em
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão temos várias coisas pra fazer e pra isso, temos uma função definida por partes em que para a função se comporta como já se a função é constante e igual a .
Primeiro temos que obter as derivadas parciais quando .
Depois temos que fazer o mesmo para quando .
Logo depois temos que obter a equação dada pelo plano tangente a em .
E por último, temos que calcular o limite de para quando tende a e dizer se é ou não diferenciavel.
Muitas coisas, não é? 👀
Bora começar logo!
Passo 2
No item a) do problema, temos que obter as derivadas parciais e para quando for diferente de .
Ou seja, temos que obter as derivadas parciais de .
Primeiro com relação a
Aplicando a regra do quociente dada por
Pelo método de derivação polinomial, vamos obter as derivadas de e
Substituindo em
Simplificando, temos
Por fim, vamos obter
Obtemos a primeira derivada parcial!
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Agora fazemos o mesmo com relação a
Aplicando a regra do quociente novamente, temos
A derivada de e de são obtidas pelo método de derivação polinomial também
Substituindo em
Simplificando o resultado
Resultando em
Tranquilo até aqui? 🤩
Passo 4
Agora para o item b) temos que fazer o mesmo, mas para quando a função está em .
Ou seja, para quando a função é constante e igual a .
Como sabemos, a derivada de uma constante é igual a e como nesse ponto a função é constante, então
Esse item foi bem curtinho, não é? 😁
Passo 5
Para o item c) temos que obter o plano tangente à função no ponto
No caso a formula do plano tangente é dado por
temos todas as informações necessárias para obter esse plano, não é?
é dado no enunciado como , e são as derivadas parciais de com relação a e , respectivamente, quando é igual a onde no caso, calculamos no passo anterior como para ambos.
Substituindo os resultados
Portanto, encontramos que o plano tangente a no ponto é igual a , ou seja, é paralelo ao plano !
Interessante, não é? 😎
Passo 6
Por último, vamos calcular o limite de para tendendo a
No caso, para vamos usar pois queremos saber o valor que tende quando nos aproximamos de e se a tangencia da curva nas redondezas condiz com o plano tangente que obtemos para .
Simplificando a fração
Podemos converter as coordenadas desse limite para coordenadas polares, o que acha? 🤔
Dessa forma, substituímos por e por e no lugar de tendendo a escrevemos tendendo a
Simplificando o resultado
Como é igual a então
Essa parte é grandinha, não é? 👀
Passo 7
Continuando o problema, podemos simplificar cortando a raiz com o expoente .
Perceba que temos multiplicando o numerador e o denominador, então podemos cortar os dois
Colocando que sobrou no denominador em evidência
Perceba que é limitado já que é composto apenas por funções periódicas que variam de a e tende a , então podemos dizer que o limite dessa fração é .
Ou seja, o limite que queríamos obter lá no início é igual a
Dessa forma, vemos que a função é sim diferenciavel em !
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
a) ,
b)
c)
d) , é diferenciavel.