Seja uma função de classe com plano tangente ao gráfico no ponto descrito pela equação
(a) Determine e
(b) Se é dada por
determine o plano tangente à superfície
No ponto .
Passo 1
O enunciado nos dá a equação do plano tangente a em :
Agora não tem mistério, só precisamos da equação do plano tangente, lembra como é? No ponto vai ser:
E isso tem que ser igual a equação que a questão nos dá.
Então, vamos primeiro reorganizar a equação do plano tangente da nossa função pra ficar no mesmo formato dessa equação genérica ai:
Beleza, agora vamos igualar as duas equações:
Os termos multiplicando e são as derivadas parciais:
Logo:
Passo 2
Tá, mas ainda falta e eu sei que sua mão tá coçando pra dizer que .
Mas nesse momento você precisa ter muita atenção!
Repara que na equação genérica, temos que as derivadas parciais estão multiplicando e , mas também o e que estão dentro do parênteses, e na equação do nosso plano mesmo, as derivadas parciais só multiplicam e .
Isso acontece porque na nossa equação do plano tangente, essa multiplicação já foi feita e as constantes que resultaram dela estão incorporadas nesse que aparece nele. Ou seja
Passo 3
Vamos com calma tentar entender porque parece que ele falou falou, mas não falou nada.
A nossa função é
Repare que nossa agora é uma função composta. É como se tivéssemos
Tranquilo?!
Beleza, temos nossa e queremos o plano tangente a superfície , ou seja, a superfície
No ponto .
Vamos então seguir o passo a passo de plano tangente.
Passo 4
A primeira coisa a se fazer é jogar tudo para a esquerda na equação da superfície e chamar de :
Agora precisamos achar o gradiente dessa :
Acontece que nossa função é o produto da variável por uma função composta , onde
Então, para achar as derivadas parciais disso em relação a e , precisaremos usar a regra da cadeia. Assim
E
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de e de :
E
E as derivadas parciais de , a principio, não podemos calcular porque não temos a expressão de .
Beleza, mas vamos substituir o que já temos:
E
Passo 6
Ok, mas precisamos dessas derivadas no ponto . Mas para isso, precisamos saber quais são os valores correspondentes de ’ e :
Assim, para calcular as derivadas parciais de no ponto , precisamos das derivadas parciais de em .
Assim,
Ora bolas, mas as derivadas parciais de em nós já descobrimos na letra .
Substituindo isso então:
Passo 7
Uhulis, achamos as derivadas parciais de em relação a e , mas lembra qual era o vetor gradiente que estávamos procurando? Era esse aqui:
Então ainda falta achar a derivada parcial de em relação a .
Mas essa é mais fácil:
No ponto :
Que também achamos na letra .
Assim, nosso vetor gradiente é
Passo 8
Show, agora é só substituir na equação do plano tangente no ponto :