Plano Tangente e Reta Normal, Regra da Cadeia
Seja a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto . Se , e , o valor de é:
(a) 2
(b) -2
(c) 0
(d) 4
(e) -6
Passo 1
Viu funções compostas na questão, não tenha dúvida que você vai ter que usar a regra da cadeia! Aqui temos , e queremos . Mas repare que . Ou seja:
E no ponto temos, pela regra da cadeia:
Show! Agora vamos achar todas essas derivadas parciais!
Passo 2
A primeira informação que ele deu é a equação do plano tangente ao gráfico da no ponto . Que tal a gente começar por aqui? Pela equação do plano tangente, e chamando o ponto de vamos ter:
Ué mas a depende de só 2 variáveis, então como vamos ter um ? Bom, vamos simplesmente substituir o por na equação da superfície, só isso!
A gente tinha:
e agora a gente tem:
Mas pra achar o plano tangente a uma superfície primeiro a gente pega a equação da superfície e joga tudo pra um lado, deixando 0 do outro, certo?
Então vamos ter:
E esse lado esquerdo da equação vai ser a “nova” , função de 3 variáveis!
Passo 3
Temos “” na expressão da função, então .
E a equação do plano é , logo:
As duas expressões são equivalentes!
Repare que na 1ª equação temos “”, enquanto na 2ª temos “”. Então vamos multiplicar a 1ª por -1 pras duas ficarem iguais, beleza? Assim:
Show, agora as duas equações estão iguais, então os termos multiplicando , e tem que ser os mesmos! Logo:
E, pros lados direitos das equações baterem, vamos ter:
Passo 4
Beleza, mas ainda precisamos de e . Mas relaxa que esses vão ser mais fáceis de achar!
Como e , temos:
Passo 5
Excelente! Vamos enfim poder aplicar a regra da cadeia! Lembrando que vimos no começo:
E que, no ponto :
Então vamos substituir com tudo que achamos:
Então .
Resposta
Alternativa (a)