Seja a curva espacial parametrizada por

1. Encontre uma superfície dada por tal que o traço de esteja completamente contido em . Exiba o normal de no ponto .
2. Considere . Escreva a equação cartesiana do plano , tangente a no ponto .
3. Escreva a equação paramétrica do plano , tangente a no ponto .
4. Escreva a equação cartesiana do plano passando por , sabendo que e são tangentes a em .
5. Encontre um ponto tal que o vetor normal a em é paralelo ao vetor .

Então vamos lá.

Beleza, não faço ideia do que seja isso.

Que tal tentarmos elevar tudo ao quadrado e depois somar, pra ver se conseguimos sumir com senos e cossenos?

Ficamos com

Bom, me parece que quase que temos um nessa equação aí. O que atrapalhou a gente foram esses coeficientes que estão multiplicando o seno e cosseno.

Assim, vamos voltar um pouquinho, na terceira linha dessa nossa continha, e dividir os senos e cossenos pelos coeficientes deles:

Cortando numerador com denominador, vamos ficar com

Agora fazendo a mesma coisa que fizemos antes de colocar o em evidencia

OPA, agora sim. Usando a relação fundamental da trigonometria, chegamos em

Quer dizer, quando pegamos o , e e dividimos por seus coeficientes e elevamos ao quadrado e somamos tudo, chegamos que isso é igual a . Em outras palavras:

Ou seja, o traço de está contido no elipsoide

Assim,

Um vetor normal a é o vetor gradiente de :

Agora queremos a equação cartesiana do plano tangente a no ponto .

Já sabemos que é a superfície

Para achar a equação do plano tangente a ela, é só acharmos um vetor normal a essa superfície.

Ora, mas isso a gente já achou no passo anterior:

Substituindo o ponto de tangencia nesse vetor aí de cima, temos:

A equação cartesiana do plano tangente fica, então:

Agora precisamos pegar esse plano tangente que achamos e parametrizar ele, ou seja, escrevê-lo em função de parâmetros.

A equação paramétrica do plano é dada por

Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores paralelos ao plano.

Isso significa que precisamos achar dois vetores paralelos ao plano.

Pensa comigo: o plano é tangente a . é uma superfície que contém a curva . Assim, o plano tangente a também é tangente a

Isso significa que um vetor paralelo a curva é um vetor paralelo ao plano.

E vetor paralelo a curva a gente já sabe, é só derivar a curva e calcular essa derivada no valor de correspondente ao ponto de tangencia .

Então vamos lá:

Falta descobrir o valor de correspondente ao ponto de tangencia . Pra isso, é só igualar as coordenadas:

Resolvendo esse sistema, temos que .

Calculando :

UFA, então temos nosso primeiro vetor paralelo ao plano tangente:

Agora, para achar o outro vetor paralelo ao plano podemos fazer o produto vetorial entre o vetor , normal ao plano, e esse vetor , paralelo ao plano, que acabamos de achar.

Porque aí, teremos um vetor que será perpendicular a esses dois vetores, mas será também tangente ao plano tangente. (tente fazer a regra da mão direita pra entender melhor: o seu polegar é o vetor , o dedo indicador é o vetor e o dedo do meio será o vetor ).

Vamos lá então:

Enfim, temos os dois vetores paralelos ao plano tangente:

Substituindo na equação paramétrica do plano tangente:

Agora queremos a equação cartesiana do plano , passando por , sabendo que e são tangentes a em .

Bo, de novo, pela regra da mão direita, se e são tangentes ao plano , então, o vetor , que é perpendicular a esses dois vetores pelo produto vetorial , será normal ao plano .

Assim, a equação cartesiana do plano , que passa por , será:

Agora queremos um ponto de para que o vetor normal a nesse ponto seja paralelo ao vetor .

O vetor normal a já sabemos que é o vetor

Para ele ser paralelo ao vetor , esses dois vetores tem que ser múltiplos, ou seja:

Temos o sistema:

Que nos dá

Beleza, mas isso não quer dizer nada pois não sabemos o valor de .

Mas, devemos lembrar que deve atender a equação da superfície . Assim:

Assim, tomando, por exemplo, , temos que o ponto é