Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Enunciado

Se os planos tangentes ao gráfico de contém a origem, então significa que o ponto satisfaz a equação do plano. Vamos ver.

Lembra do passo a passo?

Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação
Calcular gradiente de :
Calcular gradiente de no ponto :
O vetor normal será
Substituir na equação do plano:

Conforme diz no passo 1, vamos substituir por na equação da superfície.

Agora vamos jogar tudo pro lado esquerdo e chamar isso de :

Vamos calcular o vetor gradiente de :

Substituindo num ponto genérico de tangencia :

Agora vamos substituir na equação do plano:

Arrumando essa bagunça aí:

Beleza, agora que já temos nossa equação do plano tangente, num ponto qualquer, vamos ver se o ponto obedece isso.

Mas antes, observe que o ponto de tangência também satisfaz a equação da função. Então podemos substituir em termos de e . Assim

Substituindo isso na equação do nosso plano:

Agora sim vamos verificar se o ponto obedece a equação desse plano.

Assim, para :

Ou seja, os planos tangentes ao gráfico de nos pontos de tangencia contém a origem.

Ei, a resposta está no passo a passo :)