Duas superfícies são tangentes num ponto , se elas tiverem um plano tangente comum no ponto . Se as superfícies de equações
São tangentes no ponto , então o valor de é
Passo 1
Se essas duas superfícies são tangentes em , como o próprio enunciado diz, isso significa que elas tem o mesmo plano tangente nesse ponto.
Vamos achar o plano tangente das duas e depois compará-los, aí poderemos ahcar os valores de .
Pra isso, vamos começar jogando tudo pro lado esquerdo nas equações das superfícies e chamando de e .
Passo 2
Agora vamos calcular os gradientes:
E
No ponto :
Passo 3
Agora vamos comparar esses vetores gradientes (que são os vetores normais ao plano tangente dessas superfícies).
Esses planos tangentes na verdade, são o mesmo plano tangente, de acordo com o enunciado.
Isso quer dizer que os dois vetores gradientes que achamos tem que ser paralelos, ou seja, múltiplos:
Daí, podemos tirar que
Passo 4
Beleza, mas isso ainda não resolve nosso problema.
Precisamos ainda descobrir o valor desse pra poder finalmente saber quem é .
Mas, observa só isso aqui
E sabemos que o ponto tem que pertencer a essa equação, porque ele é o ponto de tangencia. Assim
Substituindo as relações entre e que encontramos no passo anterior
Passo 5
Agora sim podemos encontrar os valores de .
não pode ser uma solução pois não podemos ter divisão por zero.
Assim,
Então