Plano Tangente e Reta Normal, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Encontre a equação do plano tangente ao paraboloide e, simultaneamente, paralelo ao plano
Passo 1
Neste tipo de questão, que tem plano tangente à alguma superfície que é paralelo a algum outro plano, a estratégia é a seguinte: Encontre a equação geral para o plano tangente da superfície e depois diga que o seu vetor normal é múltiplo do vetor normal do outro plano!
Beleza, vamos então encontrar o plano tangente ao paraboloide? Para isso, precisamos do vetor normal do plano, que é o vetor gradiente da superfície! Temos então,
E, jogando o para o lado direito, temos:
Fazendo agora o gradiente da superfície, temos:
E, assim, o gradiente da superfície para um ponto qualquer é:
Passo 2
Show! Mas a gente consegue definir um plano apenas com o seu vetor normal? Não! Precisamos definir também o ponto de tangência, certo?! É agora que entra a outra parte da estratégia: Se esse plano tangente ao paraboloide é paralelo ao plano , então o vetor normal de um é múltiplo do vetor normal do outro. Assim, o vetor gradiente (vetor normal do plano tangente) é múltiplo do vetor (vetor normal do plano :
Beleza? Essa expressão só nos diz que um é múltiplo do outro :D
Desenvolvendo, temos o seguinte sistema:
Viu só que maravilha?? Pelo fato de termos feito a macetagem de jogar o para o lado direito, temos a terceira componente do gradiente sendo , e então o valor de já está aí! Se , então !
Tomando esse valor para o , temos, para :
E, para , temos:
Assim, o vetor gradiente é
Passo 3
Show!! Já temos duas coordenadas do ponto de tangência! E para descobrir a terceira, como faremos? Só jogar o e que encontramos em , pois !
E assim, o ponto de tangência é !!
Passo 4
Perfeito, agora que temos o vetor diretor, que é o vetor gradiente, e temos o ponto de tangência, basta colocar na fórmula do plano!
E aí está, chegamos na equação do plano :D