UFPE, Cálculo 2, 1°EE, 2013.1, questão 4
Encontre os pontos no elipsoide onde o plano tangente é paralelo ao plano .
Passo 1
Vamos começar ajeitando definindo uma nova função. Temos:
Passo 2
Beleza. Agora vamos calcular o gradiente:
Num ponto qualquer pertencente a elipsoide, temos:
Passo 3
Um plano tangente paralelo a outro plano significa que os vetores normais aos planos também são paralelos. Ou seja, o vetor gradiente da função é paralelo (múltiplo) do vetor normal ao plano dado.
O vetor normal ao plano , é o vetor . Então temos:
Então, temos:
Passo 4
Mas o ponto deve pertencer a elipsoide. Substituindo:
Então:
Passo 5
Finalmente, encontramos os valores de :
Para
Para
Ou seja, temos os pontos:
Resposta
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Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Mostre que a equação do plano tangente a elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 pode ser escrita como x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1
57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone z 2 = x 2 + y 2 passa pela origem.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.3 – z = x y ,( 1,1 , 1 )