USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 3 - Derivadas Parciais, Diferenciabilidade e Plano Tangente, Questão 1.11
1.11. Determine ∈ para que o plano tangente ao gráfico de no ponto seja perpendicular ao plano .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema queremos obter o valor de da função de modo que o plano tangente a no ponto seja perpendicular a .
E aí, como vamos fazer isso? 😬
Primeiramente para obter o plano tangente a temos que aplicar a equação
Já para descobrir se dois planos são perpendiculares, podemos obter seus vetores normais e verificar se o produto interno entre eles é igual a .
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de .
Começando por , se comporta como uma constante, ou seja
Aplicando a regra da cadeia, vamos obter
Agora a derivada parcial com relação a
Pelo mesmo método...
Falta encontrarmos o valor de
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Substituindo essas informações na equação do plano tangente, vamos obter
Organizando essa equação, temos
O vetor normal a um plano é dado por , portanto o vetor normal ao plano tangente de é dado por
Como queremos o plano que seja perpendicular ao plano , vamos obter que o plano normal a ele é dado por
E finalmente, se eles são perpendiculares, então
Então para ser perpendicular a , deve ser igual a
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
