UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 1, Questão 5.
Questão 5 Determine o plano tangente à superfície , com , e , que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo.
Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano no primeiro octante é dado por .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema queremos obter o plano tangente a no primeiro octante de modo que o volume do tetraedro formado com os planos coordenados seja o menor possível.
E aí como fazemos isso? 🤔
O método dos multiplicadores de Lagrange é uma técnica utilizada para encontrar máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma ou mais restrições, também conhecido como problemas de otimização com restrições.
Para utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange, é necessário definir uma função objetivo (a função que se deseja otimizar) e as restrições que limitam a sua otimização, o caso as derivadas parciais da equação do plano tangente e do volume do tetraedro. Em seguida, é necessário montar um sistema de equações que equilibre as restrições com a função objetivo, usando os multiplicadores de Lagrange como variáveis adicionais. A solução deste sistema fornece os pontos críticos da função que satisfazem todas as restrições, ou seja
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 2
Para encontrar a equação do plano tangente, temos que obter o vetor gradiente da equação e fazer com que o produto escalar com o vetor é igual a . (, e são as coordenadas do ponto da tangencia)
Obtendo o gradiente da equação, temos
Pelo método de derivação polinomial...
Aplicando o ponto ...
Vamos obter a equação do plano tangente fazendo o produto interno de com
Perceba que é como se multiplicássemos a equação por dois, logo, se ,
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Foi dito que o volume do tetraedro é dado por se a equação do plano for .
Dessa forma, vamos reescrever a equação usando como base
E finalmente aplicando os multiplicadores de Lagrange, vamos obter que
Está acompanhando? 😁
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de , temos
Agora fazendo o mesmo para
Substituindo no sistema...
Isolando em um lado das equações, vamos obter que
Bacana, não é? 😊
Passo 5
Agora vamos igualar as equações de duas em duas
Simplificando...
Agora a primeira com a terceira...
Simplificando
Trabalhoso, não é? 👀
Passo 6
Substituindo essas relações na última equação, temos
E, portanto.
Por fim, substituindo na equação do plano tangente que calculamos no passo 2, temos
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
