UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 12.
Considere o elipsoide
Por quais dos seguintes pares de pontos o elipsoide possui planos tangentes paralelos?
- e
- e
- e
- e
Passo 1
Então, para que os planos tangentes sejam paralelos, os vetores normais a esses planos nos pontos considerados têm que ser paralelos, certo?
E o vetor normal ao plano tangente é o vetor gradiente.
Vamos começar achando do vetor gradiente então.
Passo 2
E o vetor gradiente é um vetor normal à superfície! Show! Então em um ponto do elipsoide, o vetor normal à superfície é .
Beleza, agora precisamos de 2 pontos em que esses vetores normais sejam paralelos.
Digamos e . Os gradientes de em e são paralelos, logo:
Ou seja, as coordenadas dos pontos tem que ser múltiplas.
Passo 3
Olhando as opções disponíveis, vemos que duas delas respeitam essa condição, a letra (a) e a letra (c):
(a)
(c)
Então pra definir qual é a alternativa certa temos que testar se os pontos estão de fato no elipsoide, de equação
Podemos ver que os pontos da letra (c) respeitam a equação, o que não acontece pros pontos da letra (a)!
Resposta
Letra c