Plano Tangente e Reta Normal
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das outras alternativas.
Passo 1
Questão clássica de plano tangente, basta seguir o passo a passo! :D
Primeiro, vamos pegar a equação da superfície e jogar tudo pro mesmo lado, deixando zero do outro! Aqui podemos fazer
Passo 2
Agora chamamos o lado esquerdo da equação de :
Assim, a equação da superfície é
Passo 3
Beleza, agora temos que calcular o gradiente da !
Com a regra do produto, temos
Ou seja, no ponto :
Passo 4
E esse gradiente é um vetor normal à superfície no ponto !
E isso é ótimo, porque podemos aplicar a fórmula do plano tangente! Num ponto onde o vetor normal à superfície é , temos
Ou seja, aqui vamos ter
Multiplicando tudo por , caímos na letra (a):
Resposta
Alternativa (a)
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Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?
Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?
Mostre que a equação do plano tangente a elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 pode ser escrita como x x 0 a 2 + y y 0 b 2 + z z 0 c 2 = 1
57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone z 2 = x 2 + y 2 passa pela origem.
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.3 – z = x y ,( 1,1 , 1 )