Funções de Várias Variáveis, Curvas Parametrizadas, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Seja uma função diferenciável em . Suponha que o plano tangente ao gráfico de no ponto tem equação .
a) Determine e .
b) Sabendo que é uma parametrização derivável de uma curva de nível de , que e que , determine uma equação para a reta tangente à curva em .
Passo 1
a) Essa veio de brinde hein?? Vamos lá, primeiro, determinemos esse ponto !
Bom, se o plano que deram é tangente ao gráfico da função, então o ponto de tangência está tanto no gráfico dela como no plano, certo? Assim, está contido em ! Logo, para saber o , só substituir o ponto na equação do plano!
Passo 2
Perfeito! Agora, encontremos o vetor gradiente. Sabemos que o plano tangente tem vetor normal múltiplo do vetor gradiente da função no ponto de tangência, certo? E o vetor normal de qualquer plano é formado pelos coeficientes de , e , show?
Então, para o plano , o vetor normal é .
E agora vem um “problema”: ahh mas a função só tem duas variáveis e o vetor normal do plano tem , como eu faço?? Lembra daquele mecanismo, de chamar de ? Temos o seguinte:
Pegou a ideia? Agora colocamos a nossa na sua forma implícita, com ! E, nestes casos, a terceira coordenada do vetor gradiente será sempre ;)
Enfim, agora podemos dizer que o vetor normal do plano é múltiplo do vetor gradiente da função, assim:
Passo 3
Para resolver a equação, basta igualar cada coordenada dos vetores:
Sendo que essa última equação já nos fornece o valor de , viu? Substituindo ele nas outras duas equações, teremos:
E para a derivada em relação a ,
E o vetor gradiente . Ou, se preferir, o :)
Passo 4
b) Bora encontrar essa reta tangente! Como um reta tangente a uma curva é definida pela derivada da curva vezes um parâmetro, e tudo isso somado ao ponto de tangência, tudo o que precisamos é saber qual é a derivada dessa , certo?
Mas acontece que não nos deram sua equação, e não temos o que derivar! Tudo o que temos é que a derivada existe e é diferente de , para o ponto que ele pediu. A parte boa é a seguinte: Esse ponto coincide com o ponto que calculamos o vetor gradiente, que, por sua vez, é normal à curva de nível ! Sendo assim, se voltamos a trabalhar em duas dimensões, poderemos rotacionar em o vetor gradiente, e então ele terá a mesma direção da reta tangente! Pegou a ideia?
Passo 5
Bom, temos que o gradiente da é . Para girar ele em , basta inverter as coordenadas de lugar e trocar o sinal da que ficou na componente . Então:
Como queremos a reta, pouco importa o sentido e o tamanho do vetor (pois iremos esticá-lo usando um parâmetro). Sendo assim, podemos trocar o sinal das duas coordenadas, que vai manter a direção e inverter o sentido, e multiplicar ambas por , para acabar com esse denominador chato. Então, teremos:
Jogando esse vetor na equação geral para a reta, teremos:
Resposta
a) ,
b)