USP – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1.10
Determine uma equação do plano que passa pelos pontos e e é tangente ao gráfico de . Existe um só plano?
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema essa superfície aqui
E pediu a equação do plano tangente a ela e que passe pelos pontos
e
Mas como decifrar tudo isso?
Vamos por partes! Precisamos encontrar o vetor gradiente de , pois esse vetor será normal à superfície. E temos também que esses pontos pertencem ao plano! Então vamos construir uma função genérica de plano, e aplicar os pontos dados!
Beleza?
E depois? Depois com o ponto, vamos poder achar a equação do plano!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente de
Beleza?
E a equação genérica do plano é
Passo 3
Agora vamos montar nosso sistema com os dois pontos dados!
Da primeira equação temos
Da segunda
Daí subtraindo as duas
E substituindo esse valor nas duas equações temos
E a equação da superfície é
E por fim
Nosso ponto é
Passo 4
Agora que temos nosso ponto, podemos retornar para a equação do plano tangente!
Substituindo o ponto temos
E sim, esse plano é único!
Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!