Determine uma equação do plano que passa pelos pontos ( 0,1 , 5 ) e ( 0,0 , 6 ) e é tangente ao gráfico de g x , y = x 3 y . Existe um só plano?

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema essa superfície aqui

g x , y = x 3 y

E pediu a equação do plano tangente a ela e que passe pelos pontos

( 0,1 , 5 ) e ( 0,0 , 6 )

Mas como decifrar tudo isso?

Vamos por partes! Precisamos encontrar o vetor gradiente de g , pois esse vetor será normal à superfície. E temos também que esses pontos pertencem ao plano! Então vamos construir uma função genérica de plano, e aplicar os pontos dados!

Beleza?

E depois? Depois com o ponto, vamos poder achar a equação do plano!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de G

g x , y ⏝ = z = x 3 y

G = x 3 y - z

∇ G = ( 3 x 2 y ,   x 3 , - 1 )

Beleza?

E a equação genérica do plano é

3 x 0 2 y 0 x - x 0 + x 0 3 y - y 0 - z - z 0 = 0

Passo 3

Agora vamos montar nosso sistema com os dois pontos dados!

3 x 0 2 y 0 0 - x 0 + x 0 3 1 - y 0 - 5 - z 0 = 0 3 x 0 2 y 0 0 - x 0 + x 0 3 0 - y 0 - 6 - z 0 = 0

Da primeira equação temos

- 3 x 0 3 y 0 + x 0 3 - x 0 3 y 0 + z 0 = 5

Da segunda

- 3 x 0 3 y 0 - x 0 3 y 0 + z 0 = 6

Daí subtraindo as duas

x 0 3 = - 1 → x 0 = - 1

E substituindo esse valor nas duas equações temos

4 y 0 + z 0 = 6 → z 0 = 6 - 4 y 0

E a equação da superfície é

x 3 y = z

- 1 2 y 0 = 6 - 4 y 0

- y 0 + 4 y 0 = 6

3 y 0 = 6 → y 0 = 2

E por fim

z = - 1 3 . 2 = - 2

Nosso ponto é

( - 1,2 , - 2 )

Passo 4

Agora que temos nosso ponto, podemos retornar para a equação do plano tangente!

3 x 0 2 y 0 x - x 0 + x 0 3 y - y 0 - z - z 0 = 0

Substituindo o ponto temos

3 - 1 2 . 2 x + 1 + - 1 3 y - 2 - z + 2 = 0

6 x + 6 - y + 2 - z - 2 = 0

6 x - y - z + 6 = 0

E sim, esse plano é único!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

6 x - y - z + 6 = 0

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