USP – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1.12
Seja uma função derivável. Mostre que todos os planos tangentes à superfície passam pela origem.
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema essa superfície aqui
E afirma que todos os planos tangentes a ela passam pela origem! Mas como mostrar isso?
Vamos por partes! Precisamos encontrar a equação do plano tangente à essa superfície e aí verificar que a origem pertence a ele!
Beleza?
E depois? Depois com o ponto, vamos poder achar a equação do plano!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente de
Beleza?
E a equação genérica do plano é
Passo 3
Agora o problema diz que qualquer plano tangente passa pela origem. Então precisamos mostrar que independente de esse plano passa pela origem . Isto é, substituindo na equação do plano vamos encontrar
Mas será? Bora descobrir!
Organizando temos
Organizando mais um pouco
Podemos simplificar os dois últimos termos e ficamos com
Passo 4
Agora vamos resgatar a equação da superfície
No ponto temos
E substituindo no fim do passo anterior
Achamos
Uma igualdade!
Portanto sim, qualquer plano tangente à , ele passará pela origem!
Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!