(Cap 14.4 – Ex 2) Encontre uma equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado

z = 3 x - 1 2 + 2 y + 3 ) ^ 2 + 7 ,   ( 2 ,   - 2 ,   12 )

Passo 1

Falaiii meus amores, cêis tão suave?

Bora pra mais uma??

Então, encostaa!!

Vamos considerar a seguinte equação

z = 3 x - 1 2 + 2 y + 3 ) ^ 2 + 7

O objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície dada em ( 2 , - 2 ,   12 ) .

A equação do plano tangente à superfície

z = f ( x ,   y ) no ponto x 0 , y 0 , z 0 é

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x o + f y ( x o ,   y 0 ) ( y - y 0 )

Deixaremos

f x ,   y = 3 x - 1 2 + 2 y + 3 2 + 7

Calculando f x ( x ,   y ) da seguinte maneira

f x x ,   y = ∂ ∂ x f x ,   y

= 6 x - 1

= 6 1

= 6

Passo 2

Calculando f y ( x ,   y ) da seguinte maneira

f x x ,   y = ∂ ∂ x f x ,   y

= 4 y + 3

O valor f y ( x ,   y ) com (2, -2)

f x x ,   y = 4 - 2 + 3

= 4 1

= 4

Passo 3

A equação do plano tangente à superfície em ( 2 , - 2 ,   12 )

z - 12 = f x 2 ,   - 2 x - 2 + f y 2 ,   - 2 y - - 2

z - 12 = 6 x - 2 + 4 y + 2

z - 12 = 6 x - 12 + 4 y + 8

6 x + 4 y - z = - 8

Resposta

Portanto, a equação do plano tangente à superfície dada em (2, -2, 12) é

6 x + 4 y - z = - 8

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