USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – IME – 2021.2 – Questão 8
Seja uma função diferenciável. Sabendo que é a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto , determine
;
;
, onde é o versor do vetor .
4. a reta tangente ao gráfico da função no ponto da abscissa .
o plano tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
Oiie, tudo bem contigo?
O enunciado pede para que obtenhamos alguns valores relativos à função em um ponto específico, nas alternativas 1, 2 e 3. Estas informações serão úteis para calcularmos a reta e plano tangente pedido em 4 e 5. Vamos começar relembrando algumas propriedades das superfícies! Temos que uma superfície bidimensional pode ser descrita como:
Como temos que o plano é tangente a no ponto . Podemos obter o valor de através da equação do plano, já que neste ponto específico, da equação do plano é equivalente à . Saca só!
Passo 2
Isolando na equação do plano temos
Ou seja
No ponto , temos
Okay! A primeira já foi! Vamos fazer as outras!
Passo 3
De cara vamos relembrar a definição de gradiente! Temos que
Se calcularmos então as derivadas parciais usando a equação (1) que obtivemos, temos
Segunda já era! Bora bora para a terceira!
Passo 4
A primeira coisa aqui é saber quem diabos é . Mas o enunciado nos dá uma dica, ele informa que é versor do vetor . Okay, mas e daí? Por ser um versor de , podemos dizer que
Resumindo
Com isso em mãos, vamos tentar obter a nossa derivada direcional!
Passo 5
Como é diferenciável, podemos escrever a derivada direcional na direção de um versor específico como
Se calcularmos então no ponto pedido, temos
Colocando constantes em evidência e aplicando o produto escalar, temos que
Ou, só escrevendo mais bonitinho, temos
Quarta alternativa! Vamo que vamo!
Passo 6
Beleza, estão nos pedindo a reta tangente à em , portanto, como a equação paramétrica de uma reta é tal que
Então precisamos saber quem é e quem é . Como temos que , temos que em , obtemos o valor
Como encontramos anteriormente, então temos que
Agora vamos encontrar . Vem comigo!
Passo 7
Vamos identificar que , em que pode ser identificado como uma curva, portanto
Que em pode ser escrita como
Já temos o valor de . Agora vamos calcular o nosso .
Passo 8
Derivando em função do parâmetro , temos
Portanto, em , temos
E usando na expressão que calculamos para , temos
Que após aplicar o produto escalar, temos
Resumindo tudo na equação da reta tangente, temos
Agora falta só a última alternativa! Bora lá!
Passo 9
Queremos encontrar a equação do plano tangente no ponto dado. Ou seja
Como temos que é diferenciável, então é diferenciável, e a equação do plano tangente toma a forma
Temos que o ponto de coordenadas , portanto, precisamos calcular , e as derivadas parciais apresentadas acima! Vamos fazer isso!
Passo 10
Vamos começar com , temos que
Portanto,
Usando o valor de que já calculamos, temos
Beleza! Vamos trabalhar um pouco com as derivadas parciais agora!
Passo 11
Vamos começar com a derivada parcial em relação a , usando a regra da cadeia, temos
Expandindo, temos que
Resumindo temos que
Que aplicando o ponto que desejamos, nos dá
Ou seja
Se usarmos este resultado em temos que
Temos que repetir o processo para a achar a outra derivada parcial necessária! Vamos lá!
Passo 12
Começando a partir de
Que pode ser rescrita da seguinte forma quando aplicamos a regra da cadeia
Resumindo, temos
Como vimos anteriormente, em e , temos que . Portanto, temos que
Ou seja
A equação do plano é então
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho