Plano Tangente e Reta Normal
Verifique que o elipsoide e a esfera se tangenciam (ou seja, possuem o mesmo plano tangente) no ponto .
Passo 1
Nessa questão, fatalmente vamos ter que calcular as equações dos planos tangentes às duas superfícies no ponto e verificar que são o mesmo plano.
Então que tal a gente começar lembrando a equação do plano tangente ao gráfico de uma função de 3 variáveis num ponto ? Podemos escrevê-la dessa forma:
Atenção, esses pontos aí na equação são produtos escalares!
Bem, vamos prosseguir!
Passo 2
Podemos reescrever as equações do elipsoide e da esfera dessa forma:
Com e .
Passo 3
Vamos começar nos focando no elipsoide, calculando o gradiente da . As derivadas parciais vão ser:
Então o gradiente da é:
Mas o que nos interessa nessa questão é o gradiente no ponto , que é:
Passo 4
Show! Agora podemos aplicar a fórmula que vimos antes:
Portanto, o plano tangente ao elipsoide no ponto é:
Passo 5
Agora temos que verificar que o plano tangente à esfera no ponto é o mesmo!
Para isso, definimos , lembra?
Então vamos seguir o mesmo procedimento da , começando pelo gradiente:
Então o gradiente da é:
E no ponto
Observação: já podemos notar que . Poderíamos usar isso pra provar que os planos tangentes são os mesmos, mas vamos continuar do jeito que tá porque já tá quase no fim :D
Passo 6
Aplicando a fórmula do plano tangente, vamos ter:
Multiplicando tudo por :
É a mesma equação que achamos antes!
O elipsoide e a esfera possuem o mesmo plano tangente em , portanto eles se tangenciam.
Resposta
O elipsoide e a esfera têm o mesmo plano tangente em o plano .