Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Plano Tangente e Reta Normal
Considere a função em que é uma função diferenciável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de em um ponto arbitrário passa pela origem.
Passo 1
Bom, vamos prosseguir como se nada estivesse acontecendo que uma hora aparece essa sacada de plano passar pela origem ou não... Olhe para frente e mantenha a calma ;) Quando nos pedem pra encontrar plano tangente em um ponto dado, qual é a primeira coisa que fazemos? Encontramos as derivadas parciais da nossa função e formamos o vetor gradiente. Então, exatamente isso que faremos agora!
Se
Então,
E
Coloquei esses desnecessários aí só pra ilustrar que estamos usando a regra do produto e a regra da cadeia. Veja se não dá pra ler “derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro”. Não esqueça que essa “derivada do segundo”, tem uma regra da cadeia!
Fazendo o mesmo para a derivada em relação a , teremos:
E derivando em relação a , temos simplesmente :)
E o nosso vetor gradiente fica:
Como , então o vetor gradiente para tal ponto é:
Passo 2
Ok, próximo passo é fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e o nosso vetor genérico . Como , o plano tangente é dado por:
Pois o produto escalar entre o vetor gradiente e um vetor do plano tangente é sempre !
Passo 3
Agora que temos (ainda que de forma não expandida) a equação do nosso plano para um ponto genérico e uma função genérica , vamos matar o problema numa tacada só. Veja bem, o que significa dizer que a origem está contida no nosso plano? Essa sentença é a mesma coisa que perguntar se satisfaz a equação do plano, ou seja, se substituindo por encontraremos algo do tipo e não do tipo , sacou? Então vamos pegar, os lugares onde aparece , ou e trocar por :D só isso.
Agora desenvolvemos esse produto escalar:
Cortando os termos opostos,
Perfeito! Acabamos de provar que a expressão do plano aceita o ponto , logo, a origem está contida no plano!
Resposta
A origem pertence ao plano tangente.