Plano Tangente e Reta Normal
Seja a superfície dada pela equação .
(a) Determine a equação do plano tangente , num ponto genérico de .
(b) Determine os pontos de , onde o plano tangente é paralelo ao plano
(c) Determine os valores numéricos de e descreva a curva formada pelos pontos de , de tal modo que o plano tangente , encontrado em (a), contenha a origem.
Passo 1
(a)
Vamos primeiro lembrar a equação de um plano tangente ao gráfico de uma função de várias variáveis em um ponto :
Nesse exercício, o ponto vai ser um ponto genérico . Mas ainda não temos nenhum função , então vamos defini-la!
Passo 2
Quando temos uma questão de plano tangente a uma superfície, sem nenhuma função definida, vamos sempre pegar a equação da superfície e jogar tudo pro mesmo lado, deixando do outro. Então vamos lá!
Agora chamamos o lado esquerdo dessa equação de :
Show! Então a nossa superfície é a curva de nível .
Passo 3
Vamos achar o gradiente da :
Então vamos ter:
Ou seja, num ponto genérico , vamos ter:
Passo 4
Excelente! Agora é só aplicar a fórmula:
Mas é um ponto da superfície , correto? Logo:
Substituindo, vamos ter:
Uhul! Achamos a equação do plano!
Passo 5
(b)
Nessa questão é importante ter em mente o seguinte: se temos um plano
então o vetor é um vetor normal a esse plano!
Então o vetor normal do plano é , ok?
E nessa questão queremos os pontos de , onde o plano tangente é paralelo ao plano , ou seja, onde o plano tangente tem vetor normal paralelo ao vetor normal desse plano aí de cima, que é . Deu pra entender?
Basicamente: se o nosso plano é paralelo ao outro plano, então nosso vetor normal é paralelo ao outro vetor normal, só isso! :)
Passo 6
Na letra (a) achamos a equação do plano tangente à num ponto qualquer :
Logo, o vetor normal desse plano é . E queremos que ele seja paralelo, um múltiplo do vetor , que é um vetor normal do plano .
Os vetores são paralelos, então:
Se pararmos pra olhar só a 3ª coordenada, vamos ver que:
Show! Facilitou nosso trabalho! Então vamos ter:
E como :
Beleza! Então o plano tangente à é paralelo ao plano em um só ponto, o ponto .
Passo 7
(c)
Nessa questão, queremos que o plano tangente à em , cuja equação é , contenha a origem .
Vamos substituir , e z por na equação de e ver no que dá:
E a questão pede os valores numéricos de , lembrando que . Ou seja:
Também precisamos descrever a curva formada pelos pontos de . Como é definida por , temos:
Descrever a curva? Como assim? Bem, basta dizer que quando o plano tangente contém a origem, os pontos de percorrem as retas e no plano .
Resposta
(a)
(b) No ponto .
(c)