Encontre o plano tangente ao gráfico de f(x, y) = x² * e^(xy) no ponto p = (1,1) .

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos o nosso plano tangente, vamos usar a fórmula:

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0

Show, antes de começarmos a calcular nosso plano, precisamos primeiro das derivadas parciais da nossa função, então vamos calcular:

f x , y = x 2 e x y

f x = 2 x e x y + x 2 e x y y = e x y ( 2 x + x 2 y )

f y = x 3 e x y

Show, já temos as nossas derivadas parciais e também temos a fórmula do plano tangente, vamos começar a calcular o valor de cada no ponto pedido.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de cada componente no ponto pedido:

P = ( 1,1 )

f x , y = x 2 e x y → f 1,1 = 1 2 e 1.1 = e

f x = e x y 2 x + x 2 y → f x 1,1 = e 1.1 2 1 + 1 2 1 = 3 e

f y = x 3 e x y → f y 1,1 = 1 3 e 1.1 = e

Jogando tudo na fórmula:

z = e + 3 e x - 1 + e y - 1

z = e + 3 e x - 3 e + e y - e

z = 3 e x - 3 e + e y

z = e ( 3 x - 3 + y )

Resposta

z = e ( 3 x - 3 + y )

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