(Cap 14.4 – Ex 42) Suponha que você precise conhecer uma equação do plano tangente a uma superfície S no ponto P (2, 1, 3). Você não tem uma equação para S, mas sabe que as curvas

r 1 = t = ( 2 + 3 t ,   1 - t 2 ,   3 - 4 t + t 2 )

r 2 = u = ( 1 + u 2 ,     2 u 3 - 1 ,     2 u + 1 )

Ambos estão em S. Encontre uma equação do plano tangente em P

Passo 1

Falaaaai meus amores?

Como estão??

Vem comigo que eu tenho um plano, no caminho eu explicoooo!

Só boraaaaa

Nessa questão, temos de determinar a equação do plano tangente no ponto P ( 2 , 1,3 ) . Todavia, a única informação que possuímos são duas curvas que pertencem à superfície S.

r 1 t = 〈 2 + 3 t ,   1 - t 2 , 3 - 4 t + t ² 〉

r 2 u = 〈 1 + u ² , 2 u ³ - 1,2 u - 1 〉

No ponto P 2,1 , 3 → t = 0 e u = 1

Se fizermos o vetor gradiente de r 1 t e de r 2 u , teremos dois vetores tangentes às curvas parametrizadas, que pertencem à S.

∇ r 1 t = 3 ,   - 2 t ,   - 4 + 2 t   ∇ r 1 0 = 3 ,   0   , - 4  

∇ r 2 u = 2 u ,   6 u ² ,   2   ∇ r 1 1 = 2 ,   6 ,   2  

Passo 2

Realizando o produto vetorial dos vetores encontrados no passo anterior, teremos um vetor normal à superfície no ponto P ( 2 , 1,3 ) .

3 ,   0 ,   - 4   × 2 ,   6 , 2   =   24 ,   - 14 ,   18  

Assim, temos a equação do plano tangente em P:

( 24 , - 14 ,   18   ) . ( x - 2 ,   y - 1 ,   z - 3   ) =   0

24 x - 48 - 14 y + 14 + 18 z - 54 = 0

24 x - 14 y + 18 z - 88 = 0

Dividindo por 2, teremos

12 x - 7 y + 9 z = 44

Resposta

Portanto, a equação necessária do plano tangente em P é

12 x - 7 y + 9 z = 44

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