Considere o hiperboloide definido por
- Encontre a equação do plano tangente a no ponto
- Encontre outro ponto tal que o plano tangente a em seja paralelo ao plano encontrado no item .
Passo 1
Adoro questão de plano tangente! O passo a passo já tá na veia
Jogando tudo pra um lado só e chamando de :
Passo 2
Calculando o vetor gradiente de :
No ponto de tangencia :
Passo 3
Substituindo na equação do plano tangente:
Passo 4
Agora precisamos encontrar um ponto de modo que o plano tangente a nesse novo ponto seja paralelo ao plano que achamos na letra .
Para dois planos serem paralelos, precisamos que os vetores normais a esses planos sejam paralelos.
Assim, para achar o ponto em que o vetor normal ao plano (que é o vetor gradiente de calculado nesse ponto) é paralelo ao vetor que achamos na letra , basta dizermos que esses dois vetores tem que ser múltiplos:
Igualando as coordenadas, temos
Passo 5
Resolvendo esse sistema, da última equação, tiramos diretamente que
Substituindo nas duas primeiras equações:
Beleza, com isso a gente escreveu e em função de , mas a gente ainda não sabe o valor de , então ainda não temos como saber os valores de e de .
Passo 6
Mas aí, meu jovem, aí que entra o pulo the lo gato!
Precisamos lembrar que o ponto deve pertencer a superfície , pois é o ponto de tangência, portanto, pertence ao plano e a superfície.
Assim, esse ponto deve satisfazer a equação de :
Substituindo os valores de e em função de que achamos no passo 5:
Assim, temos
Temos portanto, dois pontos:
Acontece que esse primeiro ponto já é o ponto dado na letra . E na letra a questão pede um outro ponto, portanto, nossa resposta é o ponto