Funções de Várias Variáveis, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Limites e Continuidade, Plano Tangente e Reta Normal
Apenas uma das funções, ou , admite plano tangente a seu gráfico no ponto
a) Determine uma equação para esse plano.
b) Justifique por que a outra função não admite plano tangente em .
Passo 1
a)
Vamos lá... para admitir plano tangente, do que precisa uma função? Ela precisa ser diferenciável! Sim... vamos ter que pegar aquele limite da definição de derivada parcial e aquele outro gigante pra verificar se é diferenciável XD mas fique tranquilo(a), vai dar tudo certo :]
Vamos começar calculando as derivadas parciais da função , e depois verificar se ela é diferenciável? Para a derivada em relação a , temos:
Como o denominador se anula antes de fazermos o limite do , então acabamos de ver que !
Passo 2
Agora vejamos , pela mesma definição de derivada parcial que usamos, só trocando o por :
Show! Agora temos a !
Passo 3
Vamos ver então se é diferenciável? Só jogar os valores que temos no limite:
Relaxa que vai cortar um monte de coisa ;) Digo, não tenho certeza, mas sempre acaba cortando hehehe
Bom, coloquemos então os valores que temos no limite, lembrando que , e os valores das derivadas já calculamos, e são ambos .
Substituindo os valores,
Passo 4
Ok, chegamos nesse limite de duas variáveis! E agora, alguma ideia? Bom, sabemos que esse limite tem que dar para que seja diferenciável, certo? Mas sabemos que existe a opção dela não ser a tal dentre as duas funções que realmente admite plano tangente. Nesse caso, vamos primeiro tentar provar que o limite não existe, ou que é diferente de (que é uma tarefa mais fácil do que provar que existe). Veja, pelo caminho , teremos:
Olha que perfeito o que encontramos!! Isso já é o suficiente para provar que o limite não é , e que ela não é diferenciável no ponto ! Por que se ela fosse, o limite existiria e seria igual a . Como encontramos , de duas uma: ou ele é realmente igual a , ou ele não existe! Em ambos os casos, vemos que a função não é diferenciável!
Passo 5
Bom, acabamos fazendo a letra primeiro né... hahaha enfim, a função não admite plano tangente porque não é diferenciável no ponto pedido!
Agora, vamos provar que a função é diferenciável e encontrar seu plano tangente? O processo é exatamente o mesmo que fizemos para a função ! Sugiro que pare de ver por aqui, tente fazer sozinho(a), seguindo a lógica que seguimos até agora, e depois volte para ver se fez certinho :]
Passo 6
Agora que você já fez o resto da questão (eu espero rsrs), partiu recalcular os limites todos para a função ! Primeiro, calculemos as derivadas parciais:
Primeira derivada acabou de sair! !
Passo 7
Agora vamos para a derivada em relação a ?
E aí está! Novamente, temos a derivada dando ! Pronto, agora só falta ver se a função é realmente diferenciável :)
Passo 8
De novo, aquele limite que tem que dar para ser diferenciável:
Como , então o limite vale:
Como a função seno é limitada, e a função vai para , pelo teorema do anulamento, temos o limite todo indo para !
Ufa!! Finalmente provamos: a função é diferenciável!
Essa questão está sendo uma canseira, não? Segura mais um pouco que só falta fazer o plano tangente, mas essa é a parte mais fácil :D
Passo 9
Agora que já provamos tudo o que tinha pra provar, façamos o plano tangente. Como já temos as derivadas parciais, e o valor da função no ponto do plano, só precisamos jogar na fórmula!
Como as derivas são , e o valor de , o plano se resume a:
Muito simples não? Fica a dica: decore essa equação do plano, principalmente para quando temos funções de duas variáveis, é uma mão na roda! Para uma função qualquer, teríamos:
Ou seja, menos o valor da função no ponto de tangência é igual a e multiplicados pelas suas respectivas derivadas parciais ;)
Resposta
a) A função é diferenciável na origem, portanto, admite plano tangente neste ponto, que tem equação .
b) A função não admite plano tangente porque não é diferenciável no ponto pedido.