Considere a superfície S = { x, y, z ∈ R^3 | f(x, y, z) - 2z = 0 } e o ponto P0 = (x0, y0, z0) ∈ S . O plano tangente a S em P₀ satisfaz a seguinte equação:

a) f_x(x_0, y_0, z_0) + f_y(x_0, y_0, z_0) + f_z(x_0, y_0, z_0) - 2 = 0

b) f_x(x, y, z) = (x - x_0) + f_y(x, y, z) * (y - y_0) + (f_z(z) - 2) * (z - z_0) = 0

c) z = z0 + 1 / 2 * f_x(x0, y0, z0) * (x - x0) + f_y(x0, y0, z0) * (y - y0)

d) z = z_0 + 1 / 2 [ f(x, y, z) * (x - x_0) + f(y, x, z) * (y - y_0) ]

e) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Temos de calcular o plano tangente a S no ponto P 0 . Então,vai ficar assim:

∇ S P 0 x - x 0 , y - y 0 ,   z - z 0 = 0

Calculando o gradiente de S , temos:

∇ S = ∂ f x , y , z - 2 z ∂ x ,   ∂ f x , y , z - 2 z ∂ y ,   ∂ f x , y , z - 2 z ∂ z  

∇ S = f x x , y , z ,   f y x , y , z ,   f z x , y , z - 2  

No ponto P 0 :

∇ S P 0 = f x x 0 , y 0 , z 0 ,   f y x 0 , y 0 , z 0 ,   f z x 0 , y 0 , z 0 - 2  

Passo 2

Substituindo:

∇ S P 0 x - x 0 , y - y 0 ,   z - z 0 = 0

f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 - 2 z - z 0 = 0

Resposta

a) f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 - 2 z - z 0 = 0

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