Determine todos os pontos da superfície de nível 1 da função
Em que seu plano tangente é paralelo ao plano
Passo 1
Temos a função
Jogando tudo para o lado esquerdo e chamando de , temos
O plano tangente a essa superfície terá como vetor normal o vetor gradiente de .
Vamos calcular esse vetor gradiente:
Passo 2
Beleza, normalmente a gente teria que substituir o ponto de tangencia nesse vetor gradiente. Acontece que esse ponto é justamente o que a questão tá pedindo pra gente.
Pra encontra-lo, então, vamos ter que usar a segunda informação que a questão nos dá. Que é sobre o plano tangente ter que ser paralelo ao plano
Pra isso acontecer, temos que o vetor normal ao plano tangente e o vetor normal a esse plano tem que ser paralelos.
O vetor normal a essa plano aí é
Para ele ser paralelo ao vetor gradiente, eles tem que ser múltiplos:
Ficamos com o sistema:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos começar substituindo a segunda equação, na primeira:
Agora, substituindo a segunda na terceira:
Assim, temos os pontos:
Passo 4
Agora, para descobrir qual esse valor de , temos que lembrar que esse ponto pertence não só ao plano tangente, mas também a superfície de nível
Que é a superficia a qual o plano é tangente.
Assim, o ponto
Deve satisfazer também a equação da superfície. Então,
Assim, temos dois pontos onde o plano tangente é paralelo ao plano dado no problema, que são os pontos
E
Resposta
E