Considere a função dada por , em que é uma função diferenciável de uma variável real.
- Suponha que e em que e são números reais. Determine a equação do plano tangente à superfície, dada pela equação , no ponto
Passo 1
A primeira coisa que devemos nos lembrar aqui é qual é a fórmula de equações de plano tangente?
Bem, a fórmula é essa daqui oh
Beleza? Beleza!!! Mas agora quem são esses caras aí mesmo?
é o ponto de interesse, ou seja, .
Quanto a esse gradiente aí, ele é o gradiente de uma função construída a partir da superfície, se lembra?
Não se lembra? Então me acompanha!
Passo 2
Como , se passarmos para o lado direito, teremos
Agora essa equação aí, podemos considera-la, como uma curva de nível de uma certa função de três variáveis , portanto:
Percebeu? A gente sempre deve chegar nessa função isolando tudo, como no nosso problema!
Passo 3
Como precisamos do gradiente dele, bora calcular:
Calculando essas derivadas parciais...
Não se esquecendo da regra da cadeia (chamando , apenas para simplificar)
De forma análoga
Porém, dessa vez aplicando a regra do produto
E agora a regra da cadeia
Quanta á ultima derivada do gradiente:
Logo, concluímos que o vetor gradiente é
Ou melhor
Passo 4
Substituindo agora o ponto de interesse, ou seja, , nesse vetor gradiente que acabamos de encontrar, vamos encontrar
Lembrando do enunciado que nos diz que e
Bem mais simples neh?
Passo 5
Mas enfim, retornando a equação do plano tangente, ou seja...
Substituindo esse gradiente
Efetuando esse produto interno de vetores...
E eis a equação do plano tangente
Resposta
b)