UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, 1° Estágio - 2018.1, Questão 3b
Considere o paraboloide . Determine a equação para:
b) O plano tangente e reta normal ao paraboloide, passando por .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente determinar a equação do plano tangente para a reta normal ao paraboloide , que passa pelo ponto .
Então, o que nós precisamos fazer é determinar a equação geral do plano, que depende de um vetor normal a superfície e um ponto conhecido, que no caso é . A equação tem a forma:
Mas nós não conhecemos o vetor normal . Então, nós vamos determinar as coordenadas desse vetor calculando o gradiente da função no ponto :
Assim, .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente para determinar nosso vetor normal. Temos:
Calculando essas derivadas:
Agora vamos substituir as coordenadas de para obter:
E encontramos nosso vetor normal.
Agora basta escrevermos a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde , e são as coordenadas do vetor normal e , e são as coordenadas do ponto . Assim,
E encontramos nosso resultado.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉