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Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

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Enunciado

Considere a superfície:

z 2 = x 2 + y 2

  1. Determine a equação do plano tangente no ponto a ,   b ,   c .
  2. Mostre que este plano intersecciona o plano x y na reta a x + b y = 0 .

Passo 1

Letra a) Então galerinha, aqui qual é o truque? Bem o truque nada mais é que aplicar a fórmula do plano tangente a uma superfície! EBA! Lembra-se dela? :)

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ∙ ∇ F P 0 = 0

Ué! Mas quem são esses termos todos?

Calma!

x 0 ,   y 0   e   z 0 são os valores do ponto P 0 de intersecção do plano tangente isso aí é apenas uma questão de notação, bele?:D Logo:

x 0 = a

y 0 = b

z 0 = c

Ok! Mas quem é essa F ???

Passo 2

Então, essa função F grande é uma função que tenha como uma curva de nível a superfície que a gente tá trabalhando. What???

Pow, olha só:

Se estamos trabalhando com a superfície z 2 = x 2 + y 2 , podemos passar esse z 2 pro lado de lá e...

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Tchanram! Podemos tomar essa superfície como uma curva de nível 0 da função F x ,   y , z = x 2 + y 2 - z 2 , percebeu?

Passo 3

Calculando o gradiente da função F x ,   y , z = x 2 + y 2 - z 2 então...

∇ F x ,   y ,   z = ∂ F ∂ x ,   ∂ F ∂ y ,   ∂ F ∂ z

Ou seja, encontrando essas derivadas parciais...

∂ F ∂ x = 2 x

∂ F ∂ y = 2 y

∂ F ∂ z = - 2 z

Ou seja

∇ F x ,   y ,   z = 2 x ,   2 y ,   - 2 z

Mas o gradiente em todo o ponto ( x ,   y ,   z ) não nos interessa. Apenas queremos em cima do ponto P 0 = a ,   b ,   c

∇ F P 0 = 2 a ,   2 b ,   - 2 c

Passo 4

Aplicando então a fórmula de plano tangente...

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ∙ ∇ F P 0 = 0

E substituindo tudo...

x - a ,   y - b ,   z - c ∙ 2 a ,   2 b ,   - 2 c = 0

Basta efetuar esse produto interno aí e correr para o abraço!:)

2 a x - a + 2 b y - b - 2 c z - c = 0

Passo 5

Letra b) Então, aqui não tem muito mistério também, basta a gente continuar simplificando as continhas do plano ali, e lembrar que a intersecção com o plano X Y acontece quando z = 0 , ou seja

2 a x - a + 2 b y - b - 2 c 0 - c = 0

Multiplicando tudo

2 a x - 2 a 2 + 2 b y - 2 b 2 + 2 c 2 = 0

Agora vamos fazer o seguinte: tudo que não depende de x e y pro outro lado, dessa forma:

2 a x + 2 b y = 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2

Podemos colocar esse 2 em evidência em ambos lados...

2 a x + b y = 2 a 2 + b 2 - c 2

E cortando esse 2

a x + b y = a 2 + b 2 - c 2

Agora lembre-se que esse ponto P = a ,   b ,   c   está na superfície, logo a 2 + b 2 - c 2 = 0 , ou seja:

a x + b y = 0

Perceba que a intersecção do plano tangente com o plano X Y deu uma reta, justamente o que estávamos esperando que fosse ;)

Resposta

Letra a) 2 a x - a + 2 b y - b - 2 c z - c = 0

Letra b)

a x + b y = 0

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