Considere a função
E as seguintes afirmações:
- O gráfico de é a parte de cima de um cone elíptico.
- Nenhum plano tangente ao gráfico de é paralelo ao plano
- O vetor é normal ao gráfico de no ponto
Marque a alternativa correta:
- Todas as afirmações são falsas
- Apenas as afirmações I e II são verdadeiras
- Apenas as afirmações I e II são falsas
- Todas as afirmações são verdadeiras
- Apenas as afirmação I e III são verdadeiras
Passo 1
Vamos analisar cada afirmação.
A primeira diz que o gráfico de é a parte de cima de um cone elíptico.
Você lembra qual é a equação do cone elíptico?
É a equação normal de cone, assim
Reorganizando a expressão da nossa função, temos
Que não tem nada a ver com a expressão do cone né?
Então essa afirmação é falsa a beça!
Passo 2
Próxima: Nenhum plano tangente ao gráfico de é paralelo ao plano
Bom, para avaliar isso precisamos fazer tudo aquilo pra calcular o plano tangente de .
Sacanagem, precisamos não.
É só a gente fazer uma analise dos vetores normais ao plano tangente ao gráfico de e o vetor normal do plano .
O vetor normal ao plano tangente ao gráfico de é
O vetor normal ao plano é o vetor , que é um vetor na direção do eixo .
Passo 3
Se algum plano tangente ao gráfico de for paralelo ao plano , então os vetores normais desses dois planos seriam múltiplos um do outro.
Beleza, mas se fizermos no vetor , teremos, de fato, um vetor igual ao vetor normal ao plano .
E se eles são iguais, obviamente eles são múltiplos .
Ou seja, algum plano tangente ao gráfico de é paralelo a .
Então, a afirmação é falsa.
Passo 4
A última afirmação diz que o vetor é normal ao gráfico de no ponto .
O vetor normal ao gráfico de nós já calculamos e sabemos que é o vetor:
Substituindo no ponto :