Duas superfícies e são tangentes no ponto quando e os planos tangentes a e a no ponto coincidem. O elipsóide e a esfera são tangentes no ponto ? Justifique com cuidado.

Primeiro, vamos verificar se o ponto pertence a ambas as superfícies. Como fazemos isso? É só substituir as coordenadas no ponto da equação e ver se ele respeita a forma funcional da superfície! Saca só, temos que

isso é o mesmo que

Portanto, a equação é respeitada! Agora para a outra superfície, temos que

que também é identicamente obedecida! Vamos agora calcular os vetores gradientes!

Para calcular os vetores gradientes temos que definir duas funções da forma

e

Usando a regra do tombo

note que esse é só o exemplo para a derivada parcial de em relação a , derivar ou em relação a e respectivamente é análogo, e, lembre também que a derivada em relação a uma variável considera todas as outras como constante, e derivadas de constantes é sempre zero, portanto

por exemplo, analogamente para as outras, sendo assim, temos que o gradiente é dado por

e

Se avaliarmos ambos os gradientes em , temos que

e

note que

Portanto, o vetor normal ao plano tangente é paralelo para ambas as superfícies, sendo assim, as duas têm o mesmo plano tangente! E desta forma podemos garantir que elas se tangenciam! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!