UTFPR. Campus Ponta Grossa. Cálculo 1. Prova AV2 REOF. Questão 7a.
7.a) Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nessa questão foi pedido apenas para obter a equação da reta tangente à curva dada por no ponto .
A ideia é bem curtinha, não é? Mas como podemos fazer isso?? 🤔
Primeiro vamos passar todos os termos para um lado da igualdade deixando um lado como
Agora fazemos , ou seja,
Com isso, essa é a função que vamos trabalhar nessa questão!
O plano tangente a uma função é dado por
No caso, e são as coordenadas do ponto que queremos estudar, ou seja, . Logo e ,
Entendeu? Bora começar! 😎
Passo 2
Primeiro vamos obter substituindo o ponto em .
Simplificando o expoente de e como é igual a , então
Com a imagem do ponto na função obtido, vamos começar as derivações.
Primeiro vamos derivar com relação a .
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos
Pela regra da cadeia, vamos derivar e como se comporta como uma constante quando é derivado em relação a , então a derivada de é igual a .
A regra da cadeia calculamos como a derivada da função de dentro, que vamos chamar de , multiplicado pela derivada da função de fora .
Entendeu essa parte? 👀
Passo 3
Derivando pelo método de derivação polinomial, temos
Agora derivando com relação a vemos que se a derivada de em relação a é igual a , logo
Substituindo os resultados na derivada de e também por de volta, temos
Substituindo esses resultados em
Assim obtemos a derivada de com relação a que vamos usar daqui a pouco.
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 4
Agora vamos obter a derivada de com relação a
A derivada da soma é igual a soma das derivadas, então
Novamente vamos derivar pela regra da cadeia e agora vamos derivar pelo método de derivação polinomial.
Considerando a função interna como novamente
Derivando pelo método de derivação polinomial com relação a
Como já calculamos anteriormente, podemos usar o mesmo resultado já com substituído.
Pra terminar as derivadas, vamos derivar pelo método de derivação polinomial.
Juntando os resultados em , temos
Interessante, não é? 😁
Estamos quase no fim!
Passo 5
Agora temos que substituir o ponto em e .
Simplificando passando do denominador como para o numerador, temos
Agora fazemos o mesmo para
Simplificando , vamos obter
Prontinho! Falta só substituirmos na equação do plano tangente! 🤩
Bora lá!
Passo 6
Só pra lembra de como ela é, temos
Substituindo os resultados que obtemos
Simplificando o plano, temos
Passando os denominadores para os numeradores com o expoente negativo
Dessa forma, o plano tangente à curva no ponto é dado pela função
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
