Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 6 – Exercício 54
(Capítulo 14.6 – Exercício 54) Em qual ponto do paraboloide o plano tangente é paralelo ao plano ?
Passo 1
E aeee genteee! Para resolver essa questão, depois de encontrar o vetor gradiente da curva, devemos igualar esse gradiente ao produto do vetor gradiente do plano dado por um escalar. Pela igualdade poderemos encontrar ao valor do escalar e encontrar o ponto o plano tangente do paraboloide é paralelo ao plano dado.
Vamos lá então?
Passo 2
Vamo reescrever a equação do paraboloide da forma
De forma que
Então o gradiente é dado por
Lembrando que o gradiente é perpendicular ao plano tangente, certo?
Passo 3
Já o vetor perpendicular ao plano do enunciado é
(são as coordenadas que multiplicam x, y e z)
Fazendo com que o vetor do passo anterior seja paralelo a esse cara aqui
Onde é uma constante. Vamos ter então
Olhando para a componente temos que
Isso faz com que a nossa componente fique
E a componente
E ? Pra achar essa última coordenada, temos lembrar que estamos falando do paraboloide , o que nos dá
Então o nosso ponto será