Plano Tangente e Reta Normal
Seja uma função diferenciável no ponto . Sabe-se que o plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por . Quanto valem , e , respectivamente?
(a) e
(b) , e
(c) e
(d) e
(e) e
Passo 1
Ele deu a equação do plano tangente ao gráfico da no ponto . Pela equação do plano tangente, e chamando o ponto de vamos ter:
Ué mas a depende de só 2 variáveis, então como vamos ter um ? Bom, vamos simplesmente substituir o por na equação da superfície, só isso!
A gente tinha:
e agora a gente tem:
Mas pra achar o plano tangente a uma superfície primeiro a gente pega a equação da superfície e joga tudo pra um lado, deixando 0 do outro, certo?
Então vamos ter:
E esse lado esquerdo da equação vai ser a “nova” , função de 3 variáveis!
Passo 2
Temos “” na expressão da função, então .
E a equação do plano é , logo:
As duas expressões são equivalentes! E como :
Repare que na 1ª equação temos “”, enquanto na 2ª temos “”. Então vamos multiplicar a 1ª por -3 pras duas ficarem iguais, beleza? Assim:
Show, agora as duas equações estão iguais, então os termos multiplicando , e tem que ser os mesmos! Logo:
Passo 3
E, pros lados direitos das equações baterem, vamos ter:
Resposta
Alternativa (a)