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Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P2 2015.2, questão 8

No ponto P a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , tem plano tangente ortogonal a y = 1 . Assinale a alternativa correta:

  1. P = 1 2 , 1 2 , 1 2
  2. P = 0 , - 1,0
  3. P = 1 2 , 0 , - 1 2
  4. P = 0,1 , 0
  5. Não sei

Passo 1

Vamos começar encontrando um vetor normal a esfera em um ponto x 0 , y 0 , z 0 . Temos:

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

F x , y , z = 0

Então:

n → = ∇ F = 2 x 0 , 2 y 0 , 2 z 0

Passo 2

Perceba o seguinte, temos o vetor n → ortogonal ao plano tangente a esfera. Porém, esse plano tangente é ortogonal ao plano y = 1 . Logo, o vetor n → deve paralelo a um vetor que está no plano y = 1 .

Sabemos que qualquer vetor no plano y = 1 tem a forma x , 0 , z . Ou seja, sua componente em y é zero. Logo, n → também é dessa forma, então:

n → = a , 0 , c

Sendo a , c constantes quaisquer.

Passo 3

Então temos:

n → = 2 x 0 , 2 y 0 , 2 z 0 = a , 0 , c

Logo:

x 0 = a 2 ; y 0 = 0 ; z 0 = c 2

Já poderíamos terminar a questão aí, marcando letra c) pois é o único ponto q tem essa forma.

Passo 4

Mas como o ponto x 0 , y 0 , z 0 pertence a esfera, temos:

a 2 2 + 0 + c 2 2 = 1

a = 4 - c 2

Então,em qualquer ponto da forma:

x 0 , y 0 , z 0 = 4 - c 2 2 , 0 , c 2

O plano tangente a esfera é ortogonal ao plano y = 1 .

Por exemplo, c = - 2 / 2 , temos:

x 0 , y 0 , z 0 = 1 2   ,   0 ,   - 1 2

Que é justamente o ponto dado na letra c)

Resposta

c) P = 1 2 , 0 , - 1 2

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