UFAM– Cálculo 2 – P1 – Questão 6
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função em
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Temos uma função de duas variáveis
E o problema pediu para encontrarmos as equações do plano tangente e da reta normal à essa função no ponto
Bom, para encontrar esses dois itens precisamos relembrar como encontramos primeiro a equação do plano tangente
- Precisamos de um ponto, no nosso caso
- Precisamos de um vetor que seja normal ao plano : esse vetor é o gradiente (aplicado no ponto dado) - - e a função é
-
E aí é só jogar esses valores na equação do plano
Beleza? E a reta normal? Bom, para calcular a reta normal vamos reciclar vários itens do plano tangente! Isso porque para encontrar a reta normal ao gráfico precisamos do ponto e de um vetor normal à superfície e é o nosso querido gradiente! Então vamos aos passos que vamos seguir:
- Ponto que pertença à reta: no caso nosso conhecido:
- Vetor normal: gradiente de aplicado em (já calculamos no item 2 dos passos do plano tangente)
- Jogar tudo isso na equação da reta normal:
E é isso! Vamos colocar começar?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Começando pela equação do plano tangente! Precisamos do ponto e do vetor gradiente aplicado nesse ponto. Então vamos lá! O ponto é:
Mas quem é a coordenada ? É a função aplicada em ! A função é
Aplicado no ponto temos:
E assim o ponto é
Beleza até aqui?
Agora vamos ao gradiente!
Passo 3
Agora vamos calcular o gradiente da função :
E agora aplicar no ponto :
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Agora vamos jogar todas essas informações na equação do plano tangente! Agora vamos lembrar como é essa equação
E resgatando os valores calculados temos:
E também:
Agora é só substituir:
E é isso! Agora vamos calcular a equação da reta normal?
Passo 5
Agora vamos relembrar da equação da reta normal:
#partiu substituir?
E temos as três equações de reta:
E é isso!
Ufa! Terminamos!
Até próxima!