Determine os pontos da superfície nos quais o plano tangente é paralelo ao plano .

Primeiramente, encontremos a expressão para o plano tangente, qualquer que seja ele. Sabemos que o que define o plano é seu vetor normal e um ponto de tangência. Para um plano tangente, o vetor normal é o vetor gradiente:

Derivando em relação a cada coordenada, temos:

E pronto, o vetor normal do plano é , para um dado ponto de tangência !

Agora, encontremos o vetor normal do plano dado no enunciado:

O vetor normal é aquele formado pelos coeficientes de cada variável, logo, !

E então, sabemos que o vetor deve ser múltiplo do vetor , assim:

Com isso, podemos igualar as coordenadas de cada vetor, e, além disso, dizer que esse tal ponto segue a equação da superfície! O sistema fica assim:

Beleza, e agora é resolver esse sistema! Pelo o que me parece, podemos encontrar cada coordenada em função de , facilmente. Aí podemos jogar esses valores das coordenadas em função de na última equação, e encontramos os possíveis valores de ! Fica assim:

Jogando os valores valores na última equação, temos:

Desenvolvendo...

Beleza!! Agora pegamos esses dois valores de e jogamos nas equações do pontos:

Para :

Para :

Para :

E agora só combinar os valores das coordenadas para cada valor de !